מתמטריק
נגזרת של sin x ושל cos xחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 8
חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571

שיעור 8 – נגזרת של sin x ושל cos x

פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2הסבר – הנגזרות של sin x ושל cos x
3סעיף א – גזירה איבר איבר
4סעיף ב – נגזרת וערך בנקודה
5סעיף ג – ערך הנגזרת בנקודות
6סעיף ד – שיפוע משיק
7סעיף ה – משוואת משיק
📄 נוסח השאלה
בכל סעיף נתונה פונקציה. מצאו את מה שמבוקש.
א. f(x) = 5sin x − 3cos x . מצאו את f′(x) .
ב. f(x) = 3sin x − 2cos x + x2 . מצאו את f′(x) ואת f′(π3) .
ג. f(x) = 4cos x + 2x − 1 . מצאו את f′(π6) ואת f′(π) .
ד. f(x) = sin x + cos x . מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = π4 . מה אפשר לומר על המשיק?
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. f(x) = 2sin x − x . מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x = π2 .
הסבר – הנגזרות של sin x ושל cos x
גם לפונקציות טריגונומטריות יש נגזרת. שתי הנגזרות הבסיסיות שצריך לזכור:
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של סינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
שימו לב לסימן המינוס בנגזרת של cos x – זו הטעות הנפוצה ביותר.
הכללים שאנחנו מכירים מפולינומים ממשיכים לעבוד: מספר שכופל את הפונקציה נשאר, ובסכום או בהפרש גוזרים כל איבר בנפרד. לדוגמה:
(3sin x − 2cos x)′ = 3cos x + 2sin x
📐 כפל במספר וסכום
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 כפל במספר וסכום
(k · f)′ = k · f′
(f + g)′ = f′ + g′
הסבר – הנגזרות של sin x ושל cos x · המשך
(3sin x − 2cos x)′ = 3cos x + 2sin x
📐 כפל במספר וסכום
את x מציבים תמיד ברדיאנים (עם π). כשמשתמשים במחשבון, עובדים במצב רדיאנים (על המסך מופיע R).
📐 כפל במספר וסכום
(k · f)′ = k · f′
(f + g)′ = f′ + g′
סעיף א – גזירה איבר איבר
גוזרים כל איבר בנפרד. המספר שכופל את הפונקציה נשאר:
(5sin x)′ = 5cos x
📐 נגזרת של סינוס
(−3cos x)′ = −3 · (−sin x)
📐 נגזרת של קוסינוס
(−3cos x)′ = 3sin x
f′(x) = 5cos x + 3sin x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 5cos x + 3sin x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
סעיף ב – נגזרת וערך בנקודה
גוזרים כל איבר בנפרד:
(3sin x)′ = 3cos x
📐 נגזרת של סינוס
(−2cos x)′ = −2 · (−sin x)
📐 נגזרת של קוסינוס
(−2cos x)′ = 2sin x
(x2)′ = 2x
📐 נגזרת של חזקה
f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של חזקה
(xn)′ = n · xn−1
סעיף ב – נגזרת וערך בנקודה · המשך
f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
כדי למצוא את f′(π3) נכתוב את הנגזרת ונסמן את המקומות של x :
f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
נציב x = π3 :
f′(π3) = 3cos π3 + 2sin π3 + 2 · π3
f′(π3) = 3 · 12 + 2 · √32 + 2π3
📐 ערכים מיוחדים
📐 ערכים מיוחדים
cos π3 = 12
sin π3 = √32
סעיף ב – נגזרת וערך בנקודה · המשך
f′(π3) = 3 · 12 + 2 · √32 + 2π3
📐 ערכים מיוחדים
f′(π3) = 32 + √3 + 2π3 ≈ 5.33
✅ פתרון סופי: f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
f′(π3) = 32 + √3 + 2π3 ≈ 5.33
📐 ערכים מיוחדים
cos π3 = 12
sin π3 = √32
סעיף ג – ערך הנגזרת בנקודות
קודם גוזרים:
(4cos x)′ = 4 · (−sin x)
📐 נגזרת של קוסינוס
(4cos x)′ = −4sin x
(2x − 1)′ = 2 − 0 = 2
📐 נגזרת של מספר ושל ax
f′(x) = −4sin x + 2
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של מספר ושל ax
(c)′ = 0
(ax)′ = a
סעיף ג – ערך הנגזרת בנקודות · המשך
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = −4sin x + 2
נציב x = π6 :
f′(π6) = −4sin π6 + 2
f′(π6) = −4 · 12 + 2 = 0
📐 ערך מיוחד
נציב x = π :
📐 ערך מיוחד
sin π6 = 12
סעיף ג – ערך הנגזרת בנקודות · המשך
נציב x = π :
f′(π) = −4sin π + 2
f′(π) = −4 · 0 + 2 = 2
📐 ערך מיוחד
הנגזרת מתאפסת ב־x = π6 . בנקודה כזאת המשיק אופקי, וזו מועמדת להיות נקודת קיצון – נלמד את זה בהמשך הפרק.
✅ פתרון סופי: f′(π6) = 0
f′(π) = 2
📐 ערך מיוחד
sin π = 0
סעיף ד – שיפוע משיק
שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת באותה נקודה.
📐 משוואת משיק
גוזרים:
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של סינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
f′(x) = cos x − sin x
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
📐 משוואת משיק
y − y1 = m(x − x1)
m = f′(x1)
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
סעיף ד – שיפוע משיק · המשך
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = cos x − sin x
נציב x = π4 :
f′(π4) = cos π4 − sin π4
f′(π4) = √22 − √22 = 0
📐 ערכים מיוחדים
m = 0
📐 ערכים מיוחדים
sin π4 = √22
cos π4 = √22
סעיף ד – שיפוע משיק · המשך
m = 0
שיפוע 0 פירושו שהמשיק מקביל לציר ה־x (משיק אופקי).
✅ פתרון סופי: m = 0 – המשיק מקביל לציר ה־x
סעיף ה – משוואת משיק
למשוואת משיק צריך נקודה על הגרף ושיפוע.
הנקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 2sin x − x
נציב x = π2 :
f(π2) = 2sin π2 − π2
f(π2) = 2 · 1 − π2 = 2 − π2
📐 ערך מיוחד
📐 ערך מיוחד
sin π2 = 1
סעיף ה – משוואת משיק · המשך
f(π2) = 2 · 1 − π2 = 2 − π2
📐 ערך מיוחד
נקודת ההשקה: (π2 , 2 − π2)
השיפוע – גוזרים:
(2sin x)′ = 2cos x
📐 נגזרת של סינוס
f′(x) = 2cos x − 1
f′(x) = 2cos x − 1
📐 ערך מיוחד
sin π2 = 1
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
סעיף ה – משוואת משיק · המשך
f′(x) = 2cos x − 1
נציב x = π2 :
f′(π2) = 2cos π2 − 1
m = 2 · 0 − 1 = −1
📐 ערך מיוחד
משוואת המשיק – נכתוב את הנוסחה ונסמן את מה שנציב:
y − y1 = m(x − x1)
📐 משוואת משיק
📐 ערך מיוחד
cos π2 = 0
📐 משוואת משיק
y − y1 = m(x − x1)
m = f′(x1)
סעיף ה – משוואת משיק · המשך
y − y1 = m(x − x1)
📐 משוואת משיק
נציב את נקודת ההשקה (π2 , 2 − π2) ואת השיפוע m = −1 :
y − (2 − π2) = −1 · (x − π2)
y − 2 + π2 = −x + π2
y = −x + 2
✅ פתרון סופי: y = −x + 2
📐 משוואת משיק
y − y1 = m(x − x1)
m = f′(x1)

📌 סיכום התשובות

סעיף א
f′(x) = 5cos x + 3sin x
סעיף ב
f′(x) = 3cos x + 2sin x + 2x
f′(π3) ≈ 5.33
סעיף ג
f′(π6) = 0
f′(π) = 2
סעיף ד
m = 0 – משיק אופקי
סעיף ה
y = −x + 2
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא